الواقع و الزمن 2022

المحتويات

الحاسوبية الكمومية بالعربية
الترنسمون
البوابات المنطقية
ملتقى جوزفسون
الذرة الاصطناعية
حساب لاغرانجية الدوائر الكهربائية
انجازات الفيزياء لعام 2022
الثقوب السوداء فى بعدين تحتاج الى حقل الديلاطون
مبرهنة بال و اللعبة الكمومية
حالات بال المتشابكة كموميا قصويا
الثقوب السوداء الاربعة فى النسبية العامة
لازمة شور
الثقب الاسود دى-سيتر-الضدى
الفيزياء النظرية تحتاج الى كثير من الفيزياء و الرياضيات و الحاسوب و الفلسفة
التفكير فى الحاسوبية بشكل فيزيائى
البيوفيزياء و الاشعة
حركة الجسم المتماسك
الثقالة اشبه بالوعى و ابعد عن المادة فى نظرية الميكانيك الكمومى
الفيزيائى النظرى الفذ و المعمر يانغ
محاكاة ثقب دودى على الحاسوب الكمومى لغوغل
من اراد ان يجمع فى دراسته بين فلسفة الفيزياء و الفيزياء النظرية و الذكاء الاصطناعى
الوعى و الميكانيك الكمومى
الفضاءات المتناظرة قصويا
قصة الميكانيك الكمومى
اذا لم تختر الفيزياء الفيزياء فهو لن ينجح ابدا فى الفيزياء
الطريق نحو الواقع (بنروز)
الدوال الهايبر
الاشعة و الهيئات
ماهو الفرق بين العدد و القيمة السلمية
الفهم الهندسى التوحيدى للفيزياء النظرية

الحاسوبية الكمومية بالعربية

هذه الصفحة تغيرت كثيرا و ستتغير اكثر.

وهذا بعد ابعاد كثير من المواضيع الكلامية و الدينية و الفلسفية عن هذا المنبر و حذف كثير من غير المتفاعلين معنا ممن يسمى بالاصدقاء الافتراضيين.

اذن لم يعد هناك مجال لغير الفيزياء النظرية هنا.

و لم نعد متحمسين للميتافيزيقا بجميع اشكالها.

اما المحور الاول لهذه الصفحة فهو محور قديم لنا و هو محور (التأسيس التناظرى-الهندسى) لنظريتى الفيزياء الاساسيتين (النسبية العامة و نظرية الحقول الكمومية).

وهذا محور تقنى بامتياز.

هذا المحور سيتناول ايضا المواد الاساسية للفيزياء النظرية (الميكانيك الكمومى, الميكانيك التحليلى, الميكانيك الاحصائى و الترموديناميك, النسبية الخاصة و الكهرومغناطيسية).

هذا المحور سيكون منبره الاساسى اليوتوب و لن نقوم هنا الا بالاعلان عن محاضرات اليوتوب كلما تيسر لنا تسجيل احداها.

لكن سنفتح باذن الله هنا على هذه الصفحة جبهة ثانية كنت قد بدأت بدراستها منذ 20 سنة لكن فقدت اهتمامى حينذاك بسبب شغفى و هوسى بالكموميات و النسبيات و هدفهما (الكأس المقدسة) المتمثل فى (نظرية الثقالة الكمومية).

اذن سنرجع باذن الله الى ذلك الاهتمام و هو سيشكل المحور الثانى لهذه الصفحة.

هذا المحور الثانى يخص (الحاسوبية الكمومية و المعلوماتية الكمومية).

فى الرابط أهم مرجع فى هذا المجال.

اذن نقطة الانطلاق ستكون الفصول 2 و 3 و 4 و 11 الخاصة بالميكانيك الكمومى quantum mechanics, علوم الحاسوب computer science و الدارات الكمومية quantum circuits و الانطروبى entropy على التوالى.

الدارات الكمومية ستكوت بالنسبة لنا المدخل الى الحاسوبية الكمومية quantum computation.

اما الانطروبى فسيكون المدخل لنا الى المعلوماتية الكمومية quantum information.

هذا موضوع مهم يهتم به الكثير لثلاثة اسباب كلها خاطئة.

اولهما (اهمية علوم الحاسوب و الجميع أراد او يريد ان يقوم بعلوم الحاسوب)

و ثانيا (اعتماده على الميكانيك الكمومى و بالتالى الجميع يعتقد ان الامر اسهل من الثقالة الكمومية مثلا).

و ثالثا (هو موضوع من مواضيع الموضة وهذا منذ 20 سنة و الجميع يتبع الموضة).

نحن لم تهمنا و لا تهمنا لا علوم الحاسوب (فى حد ذاتها) و لا السهولة المتوهة للميكانيك الكمومى و لا اتباع الموضة.

هذا الموضوع سنقوم به لسببين مهمين جدا و صحيحين و اثنين.

اولهما (هذا موضوع يوفر لنا نافذة حية و محكمة على مواضيع اسس و فلسفة الميكانيك الكمومى دون التورط فى الميتافيزيقا).

و ثانيا ( هذا موضوع يعطينا منفذ جديد الى مواضيع المحاكاة العلمية الكمومية و ليس الكلاسيكية).

اذن فى المحصلة هذه الصفحة ستصبح تقنية اكثر فى قادم الايام الا اذا قررنا الرجوع الى مواضيع فلسفتى الزمن و الوعى و غيرها من مواضيع الميتافيزيقا التى بدأت تفقد جدواها بالنسبة لنا.

 

https://drive.google.com/file/d/1jSLaBH4W8LCKyLiNt2lu5h9fehUe0hOr/view?usp=sharin

 الترنسمون

فى الصورة ادناه هى مقارنة بين جملة ميكانيكية هى (النواس pendulum) و جملة كهربائية هى (ملتقى جوزفسون Josephson junction).

ملخص المقارنة انه من وجهة نظر كل من النظرية الاساسية (الميكانيك التحليلى) و ماهو اكثر اساسية منها نظرية (الميكانيك الكمومى) فانه لا يوجد اى فرق فى الصياغات اللاغرانجية و الهاميلتونية و الهايزنبرغية و الشرودينغرية بين جملتى النواس و ملتقى جوزفسون.

ملتقى جوزفسون هو دارة كهربائية electric circuit تعتمد على الناقلية-الممتازة superconductivity بل هى اساس ما يسمى الالكتروديناميك الكمومى للدارات circuit quantum electrodynamics.

ملتقى حوزفسون هو عبارة عن ناقلين-ممتازين يفصل بينهما عازل insulator. اذن هو عبارة عن ساندويتش (ناقل-ممتاز, عازل, ناقل-ممتاز) و الناقل-الممتاز هو عبارة عن الومنيوم Al اما العازل فهو اكسيد الالومنيوم AlOx.

بطبيعة الحال فان الناقل-الممتاز يجب المحافظة عليه عند درجة حرارة منخفضة جدا (وقصة الناقلية-الممتازة معقدة جدا ليس هذا مكانها تحتاج الى نظرية الانكسار التلقائى للتناظر spontaneous symmetry breaking فى نظرية الحقول الكمومية و الى الميكانيك الاحصائى للتحولات الطورية phase transitions).

ملتقى جوزفسون هو جملة ماكروسكوبية لكنها جملة كمومية فهى اذن وسط بين العالم الكلاسيكى الماكروسكوبى macroscopic و بين العالم الكمومى الميكروسكوبى microscopic وهو عالم يسمى العالم الميسوسكوبى mesoscopic وهو مجال تخصص كبير فى فيزياء المادة المكثفة.

حتى نؤكد فان ملتقى جوزفسون هو دارة كهربائية electric circuit اذن هى جملة اصطناعية و ليست طبيعية لكنها جملة كمومية تسمى في بعض الاحيان (الذرة الاصطناعية artificial atom).

من الناحية الكهربائية البحتة فان ملتقى جوزفسون هو دارة LC لكنها غير-خطية non-linear.

دارة LC الخطية linear هى دارة تتشكل من سعة capacitance يرمز لها ب C و حاثة inductance يرمز لها ب L كما فى الصورة الثانية.

اذن الفرق بين ملتقى جوزفسون و دارة LC يكمن فى ان التيار الكهربائى فى ملتقى جوزفسون يرتبط بشكل غير-خطى بالكمون الكهربائى عكس ما هو كائن فى دارة LC.

ملتقى جوزفسون هو نقطة انطلاق ممتازة فى الحاسوبية و المعلوماتية الكموميتان quantum computation and information من الناحية الهندسية البحتة.

لكنه غير كافى لاسباب تقنية نشرحها ان شاء الله فى محلها.

اذن يُعتمد على ملتقى جوزفسون لبناء ما يسمى علبة زوج كوبر Cooper pair box و هذا الاخير يُعتمد عليه لبناء ما يسمى الترنسمون transmon الذى هو أهم كيوبت qubit مستعمل فى الحاسوبية الكمومية و المعلوماتية الكمومية.

و الكيوبت هو وحدة المعلومات وهو من الناحية الرياضية-الفيزيائية المحضة عبارة عن جملة كمومية بمستويين طاقويين فقط.

الترنسمون هو فى الحقيقة هزاز توافقى harmonic oscillator (الذى يحتقره طلبة الفيزياء بل كثير من الفيزيائيين النظرين للجهل و العجز كالعادة) اذن هو جملة كمومية بعدد لا نهائى من المستويات الطاقوية energy levels لكنه مبنى بشكل لا يدخل فى اشتغاله الا المستوى الاساسى ground level الذى يلعب دور الحالة المنطقية التى يرمز لها ب 0 و المستوى المثار الاول first excited state الذى يلعب دور الحالة المنطقية 1.

الفرق بين الكيوبت qubit الذى هو وحدة المعلومة الكمومية و البت bit الذى هو وحدة المعلومة الكلاسيكية ان الكيوبت لا يمكن ان يتواجد فقط فى الحالتين شبه-الكلاسيكيتين 0 و 1 بل يمكنه ايضا ان يتواجد فى اى تركيب خطى لهذين الحالتين وهذا هو منبع التشابك الكمومى quantum entanglement.

حتى اؤكد فان البت الكلاسيكى لا يمكن ان يوجد الا فى الحالة 0 (التيار لا يمر) او الحالة 1 (التيار يمر) ليس هناك وسط بينهما و جميع البوابات المنطقية logic gates تبنى فيما بعد على هذا الامر.

البوابات المنطقية الكمومية ستبنى بالمثل على ال 0 و على ال 1 الكموميان اللذان يسمحان بالتشابك بينهما.

الجميع يقوم بمدخل الى الكيوبت انطلاقا من السبين spin اعتقادا منهم كالعادة ان الامر سهل (وهو من ابعد ما يكون عن السهولة نظريا و تجريبيا) لهذا قمت هنا بمدخل الى الكيوبت انطلاقا من الهزاز التوافقى و الدارة الكهربائية وهما اشياء معروفة من الفيزياء الاولية للجميع.

 

 

البوابات المنطقية 

 

الفرق الأساسى بين الحاسوبية الكلاسيكية و الحاسوبية الكمومية يكمن فى وحدة المعلومة.

وحدة المعلومة فى الحاسوبية الكلاسيكية هى ما يسمى (البت bit) و البت هو جملة فيزيائية كلاسيكية يمكن ان تكون فى واحدة من حالتين فيزيائيتين فقط نرمز لهما 0 و 1.

من الناحية العملية ال 0 يعبر عن عدم مرور التيار الكهربائى فى دارة كهربائية. اما ال 1 فيعبر عن مرور التيار الكهربائى فى دارة.

وحدة المعلومة فى الحاسوبية الكمومية هى ما يسمى (البت الكمومى quantum bit) او اختصارا (الكيوبت qubit) الذى هو جملة فيزيائية كمومية بحالتين ممكنتين نرمز لهما ايضا 0 و 1.

لان الكيوبت هو جملة كمومية فهو يتواجد بصفة عامة فى ما يسمى تراكب خطى linear superposition للحالتين 0 و 1 المعطى فى الصورة الاولى حيث α و β هى اعداد مركبة.

اذن فضاء حالات البت الكلاسيكى يتشكل من حالة واحدة ممكنة اما فضاء حالات البت الكمومى فهو فضاء شعاعى vector space يتشكل من عدد لا نهائى من الحالات الفيزيائية (هذا الفضاء هو بالضبط فضاء هيلبرت Hilbert space).

انطلاقا من البت يمكننا بناء بوابة منطقية logic gate واحدة هى النفى NOT التى تأخذ 0 الى 1 و تأخذ 1 الى 0 اى تقوم بنفى البت قيد الاعتبار وهذه البوابة المنطقية تعبر عن النفى المنطقى كما يدل اسمها.

لكن انطلاقا من الكيوبت فانه يمكننا بناء عددلا نهائى من البوابات المنطقية كل بوابة منطقية تعطى بمصفوفة احادية unitary matrix ببعد يساوى 2 واهم هذه البوابات المنطقية هى الثلاثة فى الصورة الثالثة.

البوابة الاولى X هى بالضبط بوابة النفى المنطقى NOT الكمومية اما البوابة الثالثة Z فتسمى بوابة هادمارد Hadamard gate وهى تلعب دور الجذر التربيعى للنفى NOT.

لحسن الحظ فاننا لا نحتاج الى معرفة كل هذه البوابات المنطقية الكمومية بل يكفينا ان عرف عدد صغير جدا منها يسمى البوابات المنطقية الكونية universal quantum gates يسمح لنا ببناء اى بوابة كمومية اخرى.

من الناحية التطبيقية فان الكيوبت هو اى جملة فيزيائية بمستويين للطاقة و اشهر هذه الامثلة هو السبين spin.

لكن الهزاز التوافقى الكمومى الكهربائى المعروف باسم الترنسمون transmon فى اطار نظرية الالكتروديناميك الكمومى الدارى circuit quantum electrodynamics هو مثال ممتاز آخر و قد كنا قدمناه فى الحصة الماضية.

اذن ال 0 يمثل الحالة الاساسية للترنسمون و 1 يمثل الحالة المثارة للترنسمون.

لبناء البوابات المنطقية باستعمال هذا الترنسمون علينا بناء دوائر كهربائية يمكننا فيها تحضير الحالة الابتدائية للترنسمون (وهو ال input) و اجراء الرصد الكمومي على الترنسمون (وهو output) و يمكننا فيها ايضا التحكم فى الخواص الكهربائية للترنسمون من اجل تنفيذ المصفوفة الاحادية (البوابة المنطقية). فى الدارة فى الصورة الثانية فان الترنسمون هو الذى بالاحمر.

انظر حصة الامس حول الترنسمون.

 

 ملتقى جوزفسون

خطوات النجاح ثلاثة:

-ان تكتشف و انت فى عمر ال 22 عندما كنت تحضر الدكتوراة تأثيرا فيزيائيا عميقا مع تطبيقات عملية عريضة.

-ان تتحصل و انت استاذ فى عمر ال 33 على جائزة نوبل على ذلك الاكتشاف.

-ان تترك و انت فى عمر ال 40 الفيزياء و تتوجه الى الفلسفة و بالضبط الى التصوف و تخترع نوعا جديدا من التصوف الوجودى يسمى (التصوف الكمومى quantum mysticism) الذى يتم فيه مزج علوم الوعى بالميكانيك الكمومى بالتأله الشرقى وهذا من اجل تحقيق نظرية توحيدية بين المادة و العقل.

هذه الخطوات هى التى يحلم بها الكثير من طلبة الفيزياء لكن واحد فقط حققها بالفعل فى حياته و بهذا الترتيب وهو براين جوزفسون Brian Josephson (فى الصورة) مكتشف تأثير جوزفسون Josephson effect الكمومى.

فى عام 1962 اكتشف جوفسون انه اذا وضعنا عازل insulator كهربائى بين ناقلين-ممتازين superconductors فان تيار كهربائى سيمر بينهما.

هذا الساندويتش (ناقل-ممتاز-عازل-ناقل-ممتاز) يسمى اليوم ملتقى جوزفسون Josephson junction.

خواص هذا التأثير بسيطة جدا وهى التى أخذ عليها جوزفسون نوبل مما سمح له بالتقاعد من الفيزياء مبكرا و القيام بالبحث عن الحقيقة فى اتجاهات اخرى.

هذه الخواص الخصها لكم فى 5 عناصر:

اولا هذا التيار الكهربائى سيمر حتى لو لم نطبق اى جهد voltage بين الناقلين-الممتازين.

ثانيا هذا التيار الكهربائى هو عبارة عن تأثير نفق tunneling effect كمومى يتم فيه نقل الشحنات الكهربائية من ناقل-ممتاز الى الناقل-الممتاز الآخر. و تأثير النفق راجع الى كون دالة الموجة فى كل ناقل-ممتاز لديها ذيل tail يمتد الى الناقل الآخر فاذن هناك احتمال معتبر ان تنتقل الشحنات من ناقل الى آخر عبر العازل مع افتراض سمك صغير للعازل.

ثالثا اكثر من هذا فان هذا التيار الكهربائى لا يتشكل من الكترونات بل هو يتشكل مما يسمى ازواج كوبر Cooper pairs التى هى ناقلات الشحنة فى النواقل-الممتازة و زوج كوبر هو شبه-جسيم quasi-particle عبارة عن حالة مرتبطة bound state من الكترونين ذات سبين يساوى صفر.

رابعا هذا التيار الكهربائى يتعلق بطور phase دالة الموجة (التى هى دالة موجة ماكروسكوبية macroscopic واصفة لازواج كوبر) عبر قانون جوزفسون الاول الذى ينص على ان التيار الذى يمر بين الناقلين-الممتازين هو متناسب مع جب sine الطور.

و طور دالة الموجة هو بالضبط وسيط الترتيب order parameter للناقلية-الممتازة التى لا يمكن ان تظهر الا فى تحول طورى phase transition عند درجة حرارة منخفضة. هذا الطور هو متغير ميكروسكوبى microscopic variable يعبر عن متغير ماكروسكوبى هو التدفق المغناطيسى magnetic flux.

اما كون دالة الموجة هى دالة موجة ماكروسكوبية فهذا يعنى انها لا تتعلق الا بكثافة ازواج كوبر و بالتدفق المغناطيسى التى هى متغيرات ماكروسكوبية.

خامسا هذا التيار الكهربائى يعبر عن حاثة غير-خطية non-linear inductor. و تذكروا فان الحاثة الخطية هى عبارة عن وشيعة coil يمر فيها تيار كهربائى.

اذن ملتقى جوزفسون هو حاثة-غير خطية و نقصد بذلك ان العلاقة بين التيار و الجهد هى ليست علاقة خطية او بالمقابل فان العلاقة بين الحاثية inductance و طور دالة الموجة هى علاقة غير-خطية. كل هذه الامور هى ملخصة فى قانون جوزفسون الثانى الذى ينص على ان التغير فى الزمن لطور دالة الموجة يجب ان يكون متناسبا مع الجهد.

قانونا جوزفسون اللذان يحكمان ملتقى جوزفسون موجودان فى الاطار فى الصورة الثانية.

ملتقى جوزفسون يدخل اليوم فى تركيب جميع العناصر الكهربائية الكمومية التى تعتمد كلها على الناقلية-الممتازة (وهى جمل ماكروسوبية كمومية تسمى ميزوسكوبية mesoscopic تخضع لقوانين الالكتروديناميك الكمومى و ليس للقوانين الكلاسيكية للكهرومغناطيسية وهو مجال يسمى الالكتروديناميك الكمومى الدارى circuit quantum electrodynamics).

من الناحية التطبيقية فان اهم انواع الكيوبت qubit (البت الكمومى) هو ملتقى جوزفسون نفسه و يسمى فى هذا النسق الكيوبت الناقل-الممتاز superconducting qubit.

 

 

 

الذرة الاصطناعية

 

كيف تطور الكيوبت من الكيوبت المشحون (a) الى الكيوبت المفصوم (b) الى الذرة الاصطناعية (c).

الكيوبت المشحون charged qubit هو عبارة عن ملتقى جوزفسون Josephson junction مع طاقة تغذية power supply و يسمى ايضا (علبة زوج كوبر Cooper pair box).

من الناحية الفيزيائية فان ملتقى جوزفسون هو عبارة عن حاثة inductor غير-خطية اى ان قيمة الحاثية inductance فيها لا تتعلق خطيا على الحقل المغناطيسى مثلما يحدث مثلا فى حالة الوشيعة coil التى يعبرها تيار كهربائى.

الكيوبت المفصوم split qubit هو عبارة عن ما يسمى (اخطبوط SQUID) الذى هو عبارة عن علبتى زوج كوبر موضوعتان على التوازى.

اما الذرة الاصطناعية artificial atom و تسمى ايضا الترنسمون transmon فهو عبارة عن كيوبت مفصوم موضوع على التوازى مع مكثف capacitor قيمة التكاثفية capacitance فيه اكبر بكثير من قيمة تكاثفية ملتقى جوزفسون.

الذرة الاصطناعية هى جملة كمومية بمستويين للطاقة فقط مع تلاحم coherence مثالى و غياب تام للضجيج noise و تحكم control كلى فى التشغيل وهى من الناحية الفيزيائية عبارة عن هزاز توافقى harmonic oscillator مع قليل جدا من اللاتوافقية anharmonicity التى هى السر فى كل هذه الاشياء.

الآن هذه الذرة الاصطناعية سوف تسمح لنا بتنفيذ البوابات المنطقية logic gates.

البوابات تأخذ مدخول و تعطينا مخروج.

المدخول input هو الحالة الابتدائية التى نحضر فيها الذرة الاصطناعية.

اما عملية قراءة reading المخروج output فذلك يتم عن طريق عملية رصد كمومى quantum measurement process gحالة الذرة الاصطناعية و يتم هذا عن طريق وضع الدارة الكهربائية للذرة الاصطناعية على التوازى مع هزاز كهربائى LC المشكل من حاثة L و مكثف C.

من ناحية الفيزياء النظرية فان الاعجاز فى هذا النجاج يرجع الى خواص الهزاز التوافقى الكمومى.

اما من ناحية الفيزياء التطبيقية فان كل النجاح راجع الى خواص الناقلية الممتازة التى هى فى الحقيقة ظاهرة ايضا من ظواهر اعجاز الفيزياء النظرية.

حساب لاغرانجية الدوائر الكهربائية

 

 

تمرين: احسب لاغرانجية و هاميلتونية الدارة الكهربائية فى الصورة و بين أن المتغيرات الديناميكية (موضع, زخم) فى هذه الحالة هى (الشحنة الكهربائية, التدفق المغناطيسى)?

 

نقطة الانطلاق هى تعريف الاغرانجية Lagrangian و التى تساوى الطاقة الحركية ناقص الطاقة الكامنة.

بعد ذلك الهاميلتونية Hamiltonian هى تحويل لوجوندر Legendre transform للاغرانجية.

الطاقة الكامنة فى هذه الجملة هى الطاقة الكهربائية المخزنة فى ملتقى جوزفسون Josephson junction (التى يرمز لها ب X فى الدارة) اما الطاقة الحركية فهى مجموع الطاقات الحركية للمكثفين capacitors و لمنبع التغذية power supply.

استخدم علاقات جوزفسون من المنشور السابق.

هذه اللاغرانجية هى نقطة انطلاق تكميم هذه الدارة الكهربائية. و فعلا فان المتغيران الديناميكيان (الشحنة الكهربائية electric charge و التدفق المغناطيسى magnetic flux) يجب التعامل معهما على انهما متغيران كموميان (اى ان الدارة هى جملة ميسوسكوبية mesoscopic system) اذا تحققت الشروط التالية:

اولا طاقة التقلبات الحرارية thermal fluctuations اصغر بكثير من طاقة الرنيين resonance energy المميزة للدارة.

ثانيا عرض width المستويات الطاقوية (الذى يعطى بمبدأ الارتياب لهايزنبرغ) اقل بكثير من الفرق separation بين المستويات الطاقوية. من الناحية العملية يعبر عن هذا بالقول ان معامل الجودة quality factor للدارة اكبر بكثير من الواحد.

ثالثا ستُجرى عملية رصد كمومى على الدارة. اذن الدارة ستكون مقترنة بالمحيط وهذا الاقتران coupling يعبر عنه بما يسمى القابلية admittance. هذه القابلية يجب ان تكون اقل بكثير من الواحد حتى نحافظ على كمومية الجملة.

هذه الامور الثلاثة يمكن تحقيقها تجريبيا و تطبيقيا بكل سهولة فى هذا الزمان.

اذن فعلا الدارة ادناه هى دارة كهربائية كمومية.

وبهذا نكون قد اقتربنا خطوة اخرى نحو فهم الكيوبت الكمومى.

 

 

  

انجازات الفيزياء لعام 2022  

أهم انجازات الفيزياء فى العام 2022 ثلاثة مع تخبط فى فيزياء الجسيمات الاولية و جائزة نوبل على انجازات فى التشابك الكمومى.

وكل عام و انتم بخير و عام جديد سعيد بكل صحة و عافية مع النجاح و التوفيق ان شاء الله.

انجازات العام 2022:

-اولا و بدون منازع تلسكوب جايمس واب James Webb الفضائى او تلسكوب JWST اختصارا الذى سمح لنا برؤية اعماق الكون بدقة غير مسبوقة كما انه سوف يسمح لنا فى المستقبل برؤية اكبر قوة فى الكون (الثقب الاسود) بوضوح اكبر.

-ثانيا محاكاة الثقب-الدودى الهولوغرافى holographic worme-hole على الحاسوب الكمومى quantum compûter لغوغل باستخدام الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality. هذه اول محاكاة كمومية quantum simulation و يمكن اعتبارها اول تجربة فى الثقالة الكمومية. بالنسبة لى هذا هو اهم انجاز على الاطلاق فهم يهم الثقالة الكمومية و الحاسوبية الكمومية و الفيزياء الكمومية فى آن معا.

-ثالثا تجربة جديدة فى الناقلية-الممتازة super-conductivity عند درجات الحرارة العليا على مواد مسطحة (اى فى بأهم انجازات الفيزياء فى العام 2022 ثلاثة مع تخبط فى فيزياء الجسيمات الاولية و جائزة نوبل على انجازات فى التشابك الكمومى. وكل عام و انتم بخير و عام جديد سعيد بكل صحة و عافية مع النجاح و التوفيق ان شاء الله. انجازات العام 2022: -اولا و بدون منازع تلسكوب جايمس واب James Webb الفضائى او تلسكوب JWST اختصارا الذى سمح لنا برؤية اعماق الكون بدقة غير مسبوقة كما انه سوف يسمح لنا فى المستقبل برؤية اكبر قوة فى الكون (الثقب الاسود) بوضوح اكبر. -ثانيا محاكاة الثقب-الدودى الهولوغرافى holographic worme-hole على الحاسوب الكمومى quantum compûter لغوغل باستخدام الثنائية الثقالية-المعيارية gauge-gravity duality. هذه اول محاكاة كمومية quantum simulation و يمكن اعتبارها اول تجربة فى الثقالة الكمومية. بالنسبة لى هذا هو اهم انجاز على الاطلاق فهم يهم الثقالة الكمومية و الحاسوبية الكمومية و الفيزياء الكمومية فى آن معا. -ثالثا تجربة جديدة فى الناقلية-الممتازة super-conductivity عند درجات الحرارة العليا على مواد مسطحة (اى فى بعدين) جديدة تسمى المعادن-المنتقلة ديكالكوجينايد Transition-metal dichalcogenide او اختصارا TMD . اذن الامر لم يتوقف عند الغرافيين graphene. خيبة فيزياء الجسيمات الاولية: -اما فيزياء الجسيمات الاولية فهى تعانى تخبط شديد. فهناك تعارض فى القياسات التجريبية لكتلة البوزون الشعاعى boson vector المشحون كهربائيا W وهو الجسيم الاولى الناقل للقوة النووية الضعيفة (هو الشقيق الاكبر لجسيم الفوتون الناقل للضوء). اذن فيزياء الجسيمات الاولية التى كانت الاشهر فى الدقة التجريبية اصبحت تعيش فى دوار. نوبل عام 2022: -اما نوبل فى الفيزياء لعام 2022 فقد كان يجب ان يأخذها جون بال لكن جون بال توفى عام 1990. اذن اخذها من تحقق من مبرهنة بال Bell's theorem تجريبيا و هو الفرنسى الان اسباكت Alan Aspect. و اخذها معه الامريكى جون كلوزر Jhon Caluser وهو احد من اكتشف ما يسمى متراجحة CHSH التى هى ليست الا متراجحة بال Bell inequality فى صياغة مختلفة تكلمت عنها فى ثلاثة منشورات هذا الاسبوع فقط على هذه الصفحة. و اخذ نوبل هذا العام مع كل من اسباكت و كلوزر الفيزيائى الكمومى النمساوى انتون زيلينغر Anton Zeilinger وهو احد مكتشفى حالات GHZ التى هى تعميم لحالات بال التى تكلمت عنها ايضا هذا الاسبوع هنا على هذه الصفحة. حالات بال Bell states هى حالات متشابكة كموميا قصويا تجمع بين بتين كموميين اما حالات زيلينغر او حالات GHZ فهى حالات متشابكة كموميا قصويا تجمع بين 3 بتات كمومية. و البت الكمومى quantum bit هو ذرة المعلومات. اذن نوبل هذا العام كان يجب ان يأخذها جون بال John Bell على فهمه العميق للظاهرة الاغرب فى الميكانيك الكمومى ظاهرة التشابك الكمومى quantum entanglement.عدين) جديدة تسمى المعادن-المنتقلة ديكالكوجينايد Transition-metal dichalcogenide او اختصارا TMD . اذن الامر لم يتوقف عند الغرافيين graphene.

خيبة فيزياء الجسيمات الاولية:

-اما فيزياء الجسيمات الاولية فهى تعانى تخبط شديد. فهناك تعارض فى القياسات التجريبية لكتلة البوزون الشعاعى boson vector المشحون كهربائيا W وهو الجسيم الاولى الناقل للقوة النووية الضعيفة (هو الشقيق الاكبر لجسيم الفوتون الناقل للضوء). اذن فيزياء الجسيمات الاولية التى كانت الاشهر فى الدقة التجريبية اصبحت تعيش فى دوار.

نوبل عام 2022:

-اما نوبل فى الفيزياء لعام 2022 فقد كان يجب ان يأخذها جون بال لكن جون بال توفى عام 1990.

اذن اخذها من تحقق من مبرهنة بال Bell's theorem تجريبيا و هو الفرنسى الان اسباكت Alan Aspect.

و اخذها معه الامريكى جون كلوزر Jhon Caluser وهو احد من اكتشف ما يسمى متراجحة CHSH التى هى ليست الا متراجحة بال Bell inequality فى صياغة مختلفة تكلمت عنها فى ثلاثة منشورات هذا الاسبوع فقط على هذه الصفحة.

و اخذ نوبل هذا العام مع كل من اسباكت و كلوزر الفيزيائى الكمومى النمساوى انتون زيلينغر Anton Zeilinger وهو احد مكتشفى حالات GHZ التى هى تعميم لحالات بال التى تكلمت عنها ايضا هذا الاسبوع هنا على هذه الصفحة.

حالات بال Bell states هى حالات متشابكة كموميا قصويا تجمع بين بتين كموميين اما حالات زيلينغر او حالات GHZ فهى حالات متشابكة كموميا قصويا تجمع بين 3 بتات كمومية. و البت الكمومى quantum bit هو ذرة المعلومات.

اذن نوبل هذا العام كان يجب ان يأخذها جون بال John Bell على فهمه العميق للظاهرة الاغرب فى الميكانيك الكمومى ظاهرة التشابك الكمومى quantum entanglement.

https://www.quantamagazine.org/the-biggest-discoveries-in-physics-in-2022-20221222/

الثقوب السوداء فى بعدين تحتاج الى حقل الديلاطون

 الفرق بين الفضاء-زمن AdS و الثقب الاسود AdS فى بعدين اى هناك بالاضافة الى الزمن بعد فضائى واحد (من ابسط ما يكون).

لا يوجد فرق لو لم يكن هناك حقل سلمى يسمى ديلاتون Dilaton يعمل على استقرار الثقب الاسود.

بعبارة اخرى الفرق بينهما هو فقط طوبولوجى toplogical لكنه كافى جدا لاستقرار شيء عظيم مثل الثقب الاسود.

(ادرسوا الطوبولوجيا و الهندسة التفاضلية و نظرية الزمر. نصيحة أكررها للمليون مرة).

هذا هو الحل الذى لعب دورا اساسي فى حل معضلة اشعاع الثقب الاسود التى تزعمها بولشينسكى قبل وفاته مع الاماراتى أحمد المهيرى و غيره من الفيزيائيين النظريين الشباب.

هذا هو ايضا الحل الذى لعب دورا مهما هذا العام فى محاكاة الثقب الدودى على الحاسوب الكمومى لغوغل باستعمال نموذج ال SYK.

انصحكم كثيرا بدراسة نموذج ال SYK من الفيزياء المكثفة لانه سيلعب فى المستقبل نفس الدور الذى لعبه نموذج أيزينغ Ising فى الماضى.

مبرهنة بال و اللعبة الكمومية

 نفترض ان هناك حكم referee يقدم سؤالين للاعبين players (راصدين observers) أليس Alice و بوب Bob.

كل سؤال هو عبارة هو بت واحد single bit يأخذ احد القيمتين 0 او 1.

اذن أليس تستقبل البت rA و جوابها هو بت واحد آخر نرمز له ب qA.

ايضا بوب يستقبل البت rB و جوابه هو بت واحد آخر نرمز به ب qB.

نفترض ان أليس و بوب موجودان فى طرفى المجرة او الكون اى انهما مفصولان-فضائيا spatially-separated بالكامل و لا يوجد اى امكانية للتأثيرات السببية المتبادلة و تبادل المعلومات.

أليس و بوب يلعبان معا و ليس ضد بعضهما البعض و يسمح لهما بالتشاور قبل بداية اللعب.

الهدف هو الربح و الربح يحققانه اذا كان ال XOR على الجوابين rA و rB يساوى ال AND على السؤالين qA و qB.

اذن اليس و بوب سوف يربحان اذا تحققت المعادلة فى الصورة الاولى.

ال XOR هى العملية الاقصاء-و-الحصر المنطقية (أو الحصرى exclusive or) التى تنص على ان القضية الكلية a+b (حيث ان + هو الجمع المباشر direct sum و ليس الجمع العادى) هى صحيحة اذا و فقط اذا كانت اما القضية a صحيحة او القضية b صحيحة. البوابة المنطقية logic gate و الجدول المنطقى logic table موجودان فى الصورة الثانية.

اما AND فهذا اسهل فهو عملية الجمع المنطقية (و and) التى تنص على ان القضية الكلية a Λ b هى صحيحة اذا و فقط اذا كانت القضيتان a و b صحيحتان معا. البوابة المنطقية و الجدول المنطقى موجودان فى الصورة الثالثة.

اذن قبل بداية اللعب يمكن ان يتشاور اليس و بوب على استراتيجية للعب تسمح لهما بالربح.

لاحظوا ان هناك سؤالان و جوابان اذن هناك 16 امكانية.

الاستراتجيات الحتمية التى يمكن ان يتفق عليها أليس و بوب قبل بداية اللعب هى اربعة فقط كما يلى:

-يتفق اليس و بوب على الاجابة ب 0 مهما كانت الاسئلة.

-يتفق اليس و بوب على الاجابة ب 1 مهما كانت الاسئلة.

-يتفق اليس و بوب على الاجابة بعكس السؤال اى اذا تلقوا السؤال 0 يجيبوا ب 1 و اذا تلقوا السؤال 1 يجيبوا ب 0.

-يتفق اليس و بوب على الاجابة بمثل السؤال اى اذا تلقوا السؤال 0 يجيبوا ب 0 و اذا تلقوا السؤال ب 1 يجيبوا ب 1.

لا توجد استراتيجية حتمية اخرى.

هناك استراتيجيات احتمالية لكن هذه الاخيرة هى عبارة عن متوسط للاستراتيجيات الحتمية و تؤدى الى نفس النتيجة.

لنفترض مثلا ان أليس و بوب اتفقا قبل اللعب على الاستراتجية الاولى. اى اتفقا على الاجابة دائما ب 0.

فى هذه الحالة فان rA=rB=0 اى ان rA+rB=0 من الجدول المنطقى فى الصورة الثانية.

هذا يعنى انه حتى يربح أليس و بوب يجب ان يكون qA Λ qB=0 و اذا تأملنا الجدول المنطقى من الصورة الثالثة نرى ان هناك ثلاثة امكانيات تؤدى الى هذه الحالة من اصل اربعة.

اذن احتمال الربح هو 3 على 4 اى 75 بالمائة.

هذه نتيجة عامة.

فى هذه اللعبة فان احتمال الربح القصوى الكلاسيكى هو دائما 75 بالمائة.

لكن لو اتفق أليس و بوب على استعمال التشابك الكمومى القصوى maximal quantum entanglement المحتوى فى حالة بال Bell's tate الموجودة فى الصورة الرابعة فان احتمال الربح سوف يتزايد الى اكثر من 85 بالمائة.

البرهان على هذه النتيجة الاخيرة يحتاج الى جهد اكبر.

هذه التجربة الفكرية تسمى (اللعبة الكمومية quantum game ل CHSH نسبة الى اصحابها) وهى فى الحقيقة تعبير عن مبرهنة CHSH التى هى الاخرى صياغة خاصة لمبرهنة بال Bell's theorem.

اذن هذه المبرهنة (مبرهنة بال) تعطى فى الحقيقة على شكل متراجحة يجب ان تحققها نظريات المتغيرات المخفية hidden variable theories التى ابتدأها اينشتاين و اصحابه فى تجربة ال EPR الشهيرة.

لكن التجربة و الطبيعة و الميكانيك الكمومى جميعا نجدهم يغصبون هذه المتراجحة بشكل قصوى وهذا يعنى ان نظريات المتغيرات المخفية غير منسجمة مع الميكانيك الكمومى و غير منسجمة مع التجربة و غير منسجمة مع الطبيعة.

حالات بال المتشابكة كموميا قصويا

 فى الصورة حالات بال Bell states التى هى حالات متشابكة كموميا قصويا maximally entangled states تجمع بين معلومتين كموميتين اثنتين.

وبال هو جون بال John Bell اعظم فيزيائى كمومى على الاطلاق. اعظم من الاوائل و اعظم من الاواخر.

و بال هو Bell (وهو اسم ايرلندى) و ليس Bill (وهو اختصار امريكى لاسم ويليام William). اذن الاسم ليس ابدا مختلطا عندى كما ظن او أعتقد احدهم.

الحالة المتشابكة كموميا قصويا maximally entangled state هى الحالة التى تتميز بما يسمى مقياس الربط correlation measure يساوى 2 ضرب جذر 2 اى مقياس ربط يساوى القيمة 2,8.

بال برهن انه فى اى نظرية احتمالات عادية (ما يسمى فى الميكانيك الكمومى نظرية متغيرات مخفية hidden variable theories) فان مقياس الربط لا يمكن ابدا ان يتجاوز القيمة 2.

لكن فى الميكانيك الكمومى فان مقياس الربط لا يمكن ابدا ان يتجاوز القيمة الاكبر 2,8.

اهم شيء ان مقياس الربط الكمومى يمكن ان يكون اكبر مما يمكن ان تحسبه اى نظرية احتمالات كلاسيكية وهذه هى نقطة انطلاق ما يسمى الالعاب الكمومية quantum games.

الحالات فى الصورة التى تسمى حالات بال يصل فيها مقياس الربط الى القيمة القصوية maximal value التى ينص عليها الميكانيك الكمومى اى القيمة 2,8 و لهذا فان هذه الحالات تسمى متشابكة كموميا قصويا.

هذا فى الحقيقة هى بالضبط متراجحة بال Bell 's enequality او مبرهنة بال Bell's theorem الشهيرة لكن فى هذه الصياغة التى شرحناها هنا هى تسمى متراجحة CHSH نسبة الى اصحابها كلوزر Clauser و هورن Horne و شيمونى Shimony و هولت Holt.

الرمزان A و B يعبر عن راصدين كموميين الاول هى امرأة تسمى عموما أليس Alice و الثانى هو رجل يسمى عموما بوب Bob.

هذان الراصدان يقوم كل واحد منهما باجراء القياس على بت كمومى quantum bit او كيوبت qubit مختلف يمكن ان ياخذ القيمة 0 او يأخذ القيمة 1 لكن حسب الميكانيك الكمومى يمكن ايضا ان ياخذ اى تراكب خطى linear superposition لهاتين القيمتين فى فضاء هيلبرت Hilbert space الذى هو فضاء حالات الكيوبت.

البت الكمومى من الناحية المبدأية هو وحدة المعلومات او بالاحرى هى اصغر معلومة ممكنة فى الطبيعة.

البت الكمومى من الناحية النظرية-العملية هو اى جملة فيزيائية يتميز فضاء هيلبرت للحالات الخاص بها ببعدين. مثلا السبين spin و هو عزم اللف الذاتى هو بت كمومى.

كمثال آخر يمكن ان نأخذ الهزاز التوافقى harmonic oscillaiitor الذى يمكن ان يلعب دور البت الكمومى تحت شروط معينة كما شرحت هذا فى منشورات قديمة (تذكروا منشورات الهزاز التوافقى الكهربائى على الصفحة القديمة و هى مازالت موجودة على صفحة البلوغر).

تقوم اذن أليس باجراء القياس على البت الكمومى الخاص بها.

بمكن ان تجد 0 او تجد 1.

البت الكمومى الذى يقيسه بوب متشابك كموميا قصويا مع البت الكمومى الذى تقيسه أليس.

هذا يعنى انه بعد اجراء اليس القياس على البت الكمومى الخاص بها فانها اذن وجدت القياس 0 فان بوب نعرف انه سيجد -حتى قبل ان يجرى قياسه- الحالة 1.

واذا وجدت أليس ان البت الكمومى الخاص بها موجود فى الحالة 1 فان بوب سوف سيجد البت الكمومى الخاص به فى الحالة 0 لا محالة.

هذا الربط بين القياسين هو الذى يقيسه مقياس الربط الذى تحدده متراجحة بال-CHSH.

هذا الربط هو قصوى لان مقياس الربط كما ذكرت من اجل الحالات الاربعة فى الصورة يساوى القيمة الاعظم 2 ضرب جذر 2 اى 2,8.

هذا الربط لا نعرف ابدا كيف نفسره فى اطار نظريتى الاحتمالات و المنطق الكلاسيكيان.

بل ان هذا هو -اى محاولة تفسير هذا الربط كلاسيكيا- ما حاول القيام به اينشتاين Einstein و بودولسكى Podolsky و روزن Rosen فى تجربتهم العقلية الشهيرة المسماة تجربة ال EPR التى طورها بعدهم بوهم Bohm -فى منفاه فى البرازيل الذى اضطر اليه بسبب شيوعيته- ثم طورها بعدهم جميعا بال وبها توصل الى أهم نتيجة فى العلم كما قال احدهم الا و هى مبرهنة بال.

ولهذا فان الميكانيك الكمومى اذا أخذ على علاته فان هذا يعنى ان الاحتمالات و المنطق ليسا كلاسيكيان بل كموميان.

الطبيعة يقينا هى كمومية -هذا مؤكد تجريبيا.

لكن الوعى الانسانى تطور على الارض على حسب القوانين الكلاسيكية للفيزياء و الاحتمالات و المنطق و لهذا نحن مازلنا نبحث عن ما يسمى (تفسير الميكانيك الكمومى interpretation of quantum mechanics) وهذا مجال تتشابك فيه فلسفة الفيزياء مع الفيزياء الكمومية مع الفيزياء النظرية مع فلسفة الوعى مع الفلسفة بشكل معقد جدا.

الانسان القديم اذن كان همه ان يبقى على قيد الحياة و لم يكن همه و اهتمامه ان يفهم حقيقة الواقع و لهذا فانه تطور كلاسيكيا رغم ان الواقع فى حقيقته كمومى فى نخاعه.

هذا فى الحقيقة هى نظرية التطور التى يجب فهمها على انها نظرية فعالة و ليست نظرية اساسية و قد شرحنا كل هذه الافكار المترابطة فى منشورات كثيرة سابقة.

اذن هذه معضلة -معضلة تفسير الميكانيك الكمومى- هى واحدة بل هى من اجمل معضلات الفيزياء و الرياضيات و الفلسفة.

الثقوب السوداء الاربعة فى النسبية العامة

 البعض قد يتصور ان هناك عدد لانهائى من الثقوب السوداء black holes فى نظرية النسبية العامة general relativity لكن الحقيقة ان هناك اربعة انواع فقط من الثقوب السوداء التى تقارب asymptote فضاء-زمن مينكوسفكى Minkowski spacetime (اى الفضاء-زمن المسطح للنسبية الخاصة) عندما نذهب الى المالانهاية.

اذن لدينا اربعة انواع من الثقوب السوداء فقط و من كل نوع قد يكون هناك عدد لانهائى من الامثلة الموجودة فى الكون.

اذن الثقب الاسود هو اربعة فقط فى العين اى النوع لكن مالانهاية فى الذات اى العدد.

ونحن هنا نتكلم فقط عن الثقوب السوداء التى كما قلنا تقارب فضاء-زمن النسبية الخاصة فى المالانهاية اى عندما نبتعد بشكل كافى عن الثقب الاسود فان الفضاء-زمن يصبح مسطح flat اى يصبح فضاء-زمن مينكوفسكى اى بانحناء سلمى scalar curvature معدوم.

هذه خاصية مهمة لاننا تكلمنا مثلا فى حصة سابقة عن ثقب اسود دى-سيتر-الضدى anti-de-Sitter black hole الذى يصبح فى المالانهاية فضاء-زمن دى-سيتر-الضدى anti-de-Sitter spacetime الذى يتميز بانحناء سلمى سالب.

اذن الاعيان او الانواع الاربعة من الثقوب السوداء فى النسبية العامة بانحناء معدوم فى المالانهاية هى كما يلى.

-ثقب اسود شوارشيلد Schwarzschild black hole. مترية metric هذا الحل موجودة فى الصورة الاولى وهى تتميز بمقدار فيزيائى واحد هو الكتلة m. اذن هذا ثقب اسود ساكن stationary black hole و غير مشحون كهربائيا.

-ثقب اسود رايسنر-نوردستروم Reissner–Nordström black hole. مترية هذا الحل موجودة فى الصورة الثانية وهى تتميز بمقدارين فيزيائيين هما الكتلة m و الشحنة الكهربائية التى نرمز لها فى هذه الصورة ب e. اذن هذا ثقب اسود مشحون charged black hole.

-ثقب اسود كار Kerr black hole. مترية هذا الحل موجودة فى الصورة الثالثة و هى ايضا تتميز بمقدارين فيزيائيين هما الكتلة m و العزم الحركى الذى نرمز له فى هذه الصورة ب a. اذن هذا ثقب اسود دوار rotating black hole.

-ثقب اسود كار-نيومان Kerr-Neumann black hole. مترية هذا الحل موجودة فى الصورة الرابعة و هى تتميز بثلاثة مقادير فيزيائية هى الكتلة m و الشحنة الكهربائية التى نرمز لها فى هذه الصورة ب Q و بعزم حركى الذى نرمز له ب a. اذن هذا ثقب اسود مشحون-و-دوار charged-and-rotating black hole فى نفس الوقت.

اذن لدينا اربعة انواع او اعيان من الثقوب السوداء.

-النوع الاول ساكن غير مشحون كهربائيا.

-النوع الثانى ساكن و مشحون كهربائيا.

-النوع الثالث دوار و غير مشحون كهربائيا.

-النوع الرابع دوار و مشحون كهربائيا.

هذه الانواع او الاعيان الاربعة ملخصة فى الصورة الخامسة.

لاحظوا ان الثقب الاسود لا نحتاج من اجل تمييزه الا الى عدد قليل من المقادير الفيزيائية.

هذه خاصية عامة صحيحة دائما من اجل الثقوب السوداء الكلاسيكية تسمى (مبرهنة اللا-شعر no-hair theorem) و المقصود بالشعر هنا هو شعر الثقب الاسود اى المقادير الفيزيائية الضرورية من اجل وصف حالة الثقب الاسود. الثقب الاسود الكلاسيكى لا يحتاج الى شعر بل كل ما يحتاج اليه هو الكتلة و الشحنة و العزم الحركى.

فى الصورة السادسة المقارنة بين التصور النظرى و اول و ثانى صورة للثقب الاسود M87 الموجود فى قلب المجرة العملاقة-الممتازة super-giant glaxy المسماة ماسيير Messier رقم 87 الموجودة فى تجمع فيرغو Virgo cluster.

و فى الحقيقة فان كل مجرة فى الكون تحتوى على ثقب اسود عملاق فى مركزها يلعب دور محرك المجرة.

الخلاصة اذن ان الثقب الاسود هو اربعة فى العين او النوع لكن مالانهاية فى الذات او العدد.

بنفس الطريقة يمكننا القول ان الكون قد يكون محدود فى العين (اى فى انواعه) لكن مالانهاية فى الذات او العدد.

لازمة شور

 لازمة شور Schur's lemma من اعظم نتائج نظرية التمثيل representation theory لزمر ليه Lie algebras.

زمرة ليه Lie algebra هى متشعب manifold يتميز بالاضافة الى خواص المتشعب بخواص الزمرة group.

وهى زمرة يمكن توليدها generated بما يسمى جبرية ليه Lie algebra.

جبرية ليه من الجهة الاخرى هى فضاء شعاعى vector space و هو الفضاء المماس tangent للزمرة عند عنصر الوحدة unit element.

عناصر جبرية ليه تسمى مولدات generators.

عن طريق اخذ اس هذه المولدات او اى تركيب خطى لهذه المولدات فاننا نحصل على جميع عناصر الزمرة. هذا يسمى التطبيق الاسى exponential map.

هذه المولدات يمكن تمثيلها represented بمؤثرات operators على فضاءات هيلبرت Hilbert spaces.

و بالتالى يمكن تمثيل عناصر جبرية ليه (وهى فضاء شعاعى) و عناصر زمرة ليه (وهى متشعب) عن طريق مؤثرات من الافضل ان تكون مصفوفات اى مؤثرات على فضاءات هيلبرت متناهية-البعد finite-dimensional.

هنا نبدأ نظرية التمثيل.

اى كيف نمثل الزمرة و عناصرها و الجبرية و عناصرها بمؤثرات على فضاءات هيلبرت مع الحفاظ على جميع الخواص الرياضية اى ان هناك ما يسمى اوتومورفيزم automorphism بين هذه الزمر و الجبريات من جهة و بين فضاءات هيلبرت التى تمثلها من الجهة الاخرى.

البداية هى لازمة شور.

نبحث فى الفضاء الشعاعى للمولدات (جبرية ليه) على ما يسمى مؤثرات كازمير Casimir operators و هى المؤثرات التى تتبادل commute مع اى تركيب خطى للمولدات.

عدد مؤثرات الكازمير هو بالضبط ما يسمى رتبة rank الزمرة التى هى بعد الجبرية-الجزئية subalgebra لجبرية ليه المسماة الجبرية-الجزئية لكارتان Cartan subalgebra.

التمثيل U(g) لأى عنصر g من الزمرة هو غير-قابل للاختزال irreducible اذا و اذا فقط اذا كان يتبادل مع جميع مؤثرات كازيمير.

لنفترض من اجل التبسيط انه لدينا مؤثر كازيمير واحد نرمز له ب C.

لأن مؤثرات كازيمر تتبادل فيما بينها فانه يمكن استقطارها diagonalized اى البحث عن قيمها-الذاتية eigenvalues ثم وضعها فى حالة قطرية diagonal form.

الفرضية هنا انه لدينا مؤثر كازيمير واحد C اذن العملية اسهل بكثير.

اذن نبحث عن القيم-الذاتية لمؤثر الكازمير C التى نرمز لها ب C_j و نضع المؤثر فى حالة قطرية.

اى عنصر آخر من الزمرة سيأخذ ايضا حالة قطرية لكن العناصر على القطر ليست هى اعداد مركبة بل هى مصفوفات تتميز بأبعاد d_j.

البعد d_j هو فى الحقيقة درجة انحلال degeneracy القيمة-الذاتية C_j لمؤثر الكازيمير C.

هذه الابعاد d_j وهذه القيم-الذاتية C_j تميز بالضبط ما يسمى التمثيلات غير-القابلة للاختزال للزمرة.

اذن كل تمثيلة غير-قابلة للاختزال او IRR اختصارا سوف يميزها عدد حقيقى هو بالضبط هذه القيمة-الذاتية C_j و بعد فضاء هيلبرت المرفق بهذه التمثيلة هو بالضبط d_j.

هذه اللازمة هى اساس كل نظرية الزمر التى هى اساس كل الميكانيك الكمومى.

مثلا السبين spin (عزم-اللف الذاتى) و الذى يرمز به ب s هو فى الحقيقة القيمة-الذاتية لمربع العزم الحركى S^2 الذى هو مؤثر كازمير الخاص بجبرية الدورانات SO(3) او الجبرية الاحادية الخاصة SU(2).

كما يعرف الجميع من الميكانيك الكمومى لدينا 2s+1 حالة كمومية مرفقة بالسبين s وهذا هو بالضبط بعد فضاء هيلبرت المرفق بالتمثيلة المميزة بالسبين s.